Tentukan formula eksplisit barisan berikut 0,1,‐2,3,‐4,5,… help

Kelas: X
Mata pelajaran: Matematika 
Materi: Barisan Bilangan

Kata Kunci: Barisan Geometri, Barisan Aritmetik, Formula Eksplisit

Jawaban pendek:

Formula eksplisit barisan berikut 0, 1, ‐2, 3, ‐4, 5,… adalah:

[tex]Un = \left\{\begin{matrix}-n + 1, n \ \epsilon \ bilangan \ ganjil \\ n + 1, n \ \epsilon \ bilangan \ genap\end{matrix}\right. , n > 0, n \ \epsilon \ Z[/tex]

Jawaban panjang:

Barisan di soal adalah: 0, 1, ‐2, 3, ‐4, 5,…

Barisan ini dapat dilihat sebagai gabungan dari dua barisan aritmetik yaitu:

Barisan I : 0, -2, -4, …

Barisan I ini adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih yang tetap, atau pengurangan antara dua suku yang berurutan yang tetap.

Selisih tersebut senilai:

b = U2 – U1

   = -2 – 0

   = -2

Dengan suku awal a = U1 = 0, rumus dari Barisan I ini adalah:

Un = a + (n – 1)b

Un = -2 (n -1)

Un = -2n + 2

Barisan II: 1, 3, 5, …

Barisan I ini adalah barisan aritmetika karena memiliki selisih yang tetap, atau pengurangan antara dua suku yang berurutan yang tetap.

Selisih tersebut senilai:

b = U2 – U1

   = 3 – 1

   = 2

Dengan suku awal a = U1 = 1, rumus dari Barisan I ini adalah:

Un = a + (n – 1)b

Un = 1 + 2 (n -1)

Un = 2n -1

Formula Eksplisit:

Barisan ini merupakan gabungan dari dari dua barisan di atas, dengan suku pada bilangan ganjil mengikuti rumus Barisan I dan pada bilangan genap mengikuti Barisan II.

Namun formula dari Barisan I dan Barisan II harus diubah karena penempatanya berselingan.

Suku ke 1 pada barisan gabungan adalah suku ke 1 pada Barisan I. Suku ke 2 pada barisan gabungan adalah suku ke 1 pada Barisan II. Suku ke 3 barisan gabungan adalah suku ke 2 pada Barisan I. Demikian seterusnya, diruliskan dalam:

1,1, 2, 2, 3, 3 …

Perubahan ini membuat suku barisan n pada barisan gabungan menjadi:

Untuk suku ganjil:

Un = -2((n+1)/2) + 2

Un = - n – 1 + 2

Un = - n + 1

Untuk suku genap:

Un = 2((n+2)/2) -1

Un = n + 2 - 1

Un = n + 1

Sehingga formula eksplisitnya adalah penggabungan kedua bilangan yaitu:

[tex]Un = \left\{\begin{matrix}-n + 1, n \ \epsilon \ bilangan \ ganjil \\ n + 1, n \ \epsilon \ bilangan \ genap\end{matrix}\right. , n > 0, n \ \epsilon \ Z[/tex]